Orbitphysik
Die Gravitation
Alle Körper ziehen sich aufgrund ihrer Masse gegenseitig an. Diese Anziehung wird Gravitation FG genannt.
Beispiel FG zwischen Mond und Erde.
Das Gravitationsgesetz wurde 1687 von I. Newton begründet:
FG...Gravitationskraft in [N]
G...Gravitationskonstante = 6,67259 * 10-11m3 * kg-1 * s-2
m1; m2...Masse der beiden Körper in [kg]
r...Abstand der beiden Körper in [m] Achtung Massepunkt, das bedeutet bei Planeten auch Abstand bis zum Mittelpunkt!
Erscheinungsformen der Gravitation
1. Der Körper liegt oder fällt auf einen anderen Körper:
hier ist die Gravitationskraft FG gleich der Gewichtskraft FGew des oberen Körpers.
Gewichtskraft des oberen Körpers:
g...Ortsfaktor der Gravitation oder auch Fallbeschleunigung = 9,81 m*s-2
Die beiden Terme können dadurch gleichgesetzt werden:
und es fällt m1 beim Multiplizieren weg
Anwendung der Formel: Bsp. Planetenberechnungen, m2 ist die Masse des Planeten. Mit dieser Formel kann die Fallbeschleunigung des Planeten berechnet werden, wenn seine Masse und der Abstand zum daraufliegenden Körper, der eigentlich der Radius des Planeten ist, bekannt ist. Die Gravitationskonstante ist wie oben zu sehen gegeben.
2. Der Körper (z.B. Satellit) umkreist einen anderen Körper (z.B. Erde):
Die Radialkraft FR (=Zentrifugal- oder Fliehkraft) des ersten, umkreisenden Körpers muss größer oder gleich der Gravitationskraft FG sein.
Radialkraft des ersten, umkreisenden Körpers:
v...Bahngeschwindigkeit in [m*s-1] oder in der Raumfahrt [km*s-1]
Die Terme für Radialkraft und Gravitationskraft lassen sich gleichsetzten:
es fällt m1 weg und ein r
Wurzel ziehen aus dem rechten Term
Dadurch läßt sich die Geschwindigkeit berechnen, die nötig ist, dass ein Körper die Erdanziehungskraft überwindet und um diesen Körper auf eine Erdumlaufbahn zu bringen. Dazu wird die Erdmasse und der Radius benötigt:
mE = 5,97*1024 kg
r = 6378000 m
Beim Ausrechnen erhält man für die Bahngeschwindigkeit:
v = 7906 m*s-1 = 7,9 km*s-1
Diese Geschwindigkeit wird auch 1. Kosmische Geschwindigkeit genannt.
Geostationärer Satellit:
- steht immer über der gleichen Stelle der Erde
- befindet sich senkrecht über dem Erdäquator
Frage: In welcher Höhe muss der Satellit über der Erdoberfläche stehen?
Die Geschwindigkeit (zum Quadrat), die man mit der Gleichung berechnet, die sich über der obigen befindet, muss mit einer anderen Gleichung zur Berechnung der Bahngeschwindigkeit gleichgesetzt werden:
Die Bahngeschwindigkeit läßt sich auch wie folgt berechnen:
T...Umlaufzeit in [s] Beispiel Erde T = 24 h = 1440 min = 86400 s
Genaugenommen dreht sich die Erde in 24 Stunden einmal um sich selbst plus 0,985° Fortschritt auf ihrer Sonnenumlaufbahn. Deshalb muss für T = 23 h 56 min 4 s, also 86164 s eingesetzt werden.
Zur besseren Gleichsetzung wird quadriert:
gleichsetzen mit weiter oben hergeleiteter Gleichung:
mit T2 und r ausmuliplizieren und anschließend durch 4(pi)2 teilen, m2 ist hier die Masse der Erde als mE:
Zum Schluss noch die dritte Wurzel aus dem rechten Term ziehen:
Alle im rechten Term befindlichen Werte sind weiter oben schon gegeben, (pi) = ca. 3,142
Nach Einsetzen erhält man für den Abstand r:
r = 42164000 m = 42164 km aber Achtung: das bezieht sich bis zum Erdmittelpunkt wegen des Massepunktmodells! Es muss der Erdradius selbst noch abgezogen werden:
Abstand = 42164 km - 6378 km = 35786 km = ca. 36000 km
Und damit haben wir den Abstand eines geostationären Satelliten errechnet.